გადაწყვიტეთ 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1.882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0.132782219$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -7-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 49 16-ს.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

-7-ის საპირისპიროა 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 7 \sqrt{65}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{65} 7-ს.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$4x^{2}-7x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

გაყავით -\frac{7}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} \frac{49}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

მიუმატეთ \frac{7}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$