გადაწყვიტეთ 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx+1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -5.

$$a=-4 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}-5x+1, როგორც \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

4x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-1=0 და 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -5-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 25 -16-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±3}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 3-ს.

$$x=\frac{8}{8}$$

გაყავით 8 8-ზე.

$$x=1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±3}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 5-ს.

$$x=\frac{2}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

გაყავით -\frac{5}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{4} \frac{25}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

მიუმატეთ \frac{5}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$