გადაწყვიტეთ 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx+1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -4.

$$a=-2 b=-2$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}-4x+1, როგორც \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

2x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

გადაწერეთ ბინომის კვადრატის სახით.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

განტოლების პასუხის მისაღებად ამოხსენით 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -4-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 16 -16-ს.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

აიღეთ 0-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

-4-ის საპირისპიროა 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{4}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

გაყავით -4 4-ზე.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{4} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-x+\frac{1}{4}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია. ამონახსბები იგივეა.

$$x=\frac{1}{2}$$