გადაწყვიტეთ 4x^2-2x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0.25+1.479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0.25-1.479019946i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -2-ით b და 9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 4 -144-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

აიღეთ -140-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 2i\sqrt{35}-ს.

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

გაყავით 2+2i\sqrt{35} 8-ზე.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{35} 2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

გაყავით 2-2i\sqrt{35} 8-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-2x=-9$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

გაყავით -\frac{1}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

მიუმატეთ -\frac{9}{4} \frac{1}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$