გადაწყვიტეთ 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4.054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0.554886114$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-14x=9$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -14-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 196 144-ს.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

აიღეთ 340-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

-14-ის საპირისპიროა 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 14 2\sqrt{85}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

გაყავით 14+2\sqrt{85} 8-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{85} 14-ს.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

გაყავით 14-2\sqrt{85} 8-ზე.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-14}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

გაყავით -\frac{7}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

მიუმატეთ \frac{9}{4} \frac{49}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

მიუმატეთ \frac{7}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$