გადაწყვიტეთ 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx-27. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -12.

$$a=-18 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}-12x-27, როგორც \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

2x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-9 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-9=0 და 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -12-ით b და -27-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 144 432-ს.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

აიღეთ 576-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

-12-ის საპირისპიროა 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±24}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 12 24-ს.

$$x=\frac{36}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{36}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{9}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±24}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 24 12-ს.

$$x=-\frac{12}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

მიუმატეთ 27 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

-27-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

გამოაკელით -27 0-ს.

$$4x^{2}-12x=27$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

გაყავით -12 4-ზე.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

გაყავით -3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

მიუმატეთ \frac{27}{4} \frac{9}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$