გადაწყვიტეთ 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

16-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

გამოაკელით 16 30-ს.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -11-ით b და 14-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 121 -224-ს.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

აიღეთ -103-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

-11-ის საპირისპიროა 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 11 i\sqrt{103}-ს.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{103} 11-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

გამოაკელით 30 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

30-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

გამოაკელით 30 16-ს.

$$4x^{2}-11x=-14$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-14}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

გაყავით -\frac{11}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

მიუმატეთ -\frac{7}{2} \frac{121}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

მიუმატეთ \frac{11}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$