გადაწყვიტეთ 4x^2+x+3=498

$$4 x ^ { 2 } + x + 3 = 498$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{45}{4} = -11\frac{1}{4} = -11.25$$

$$x=11$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 498 ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+x+3-498=0$$

გამოაკელით 498 3-ს -495-ის მისაღებად.

$$4x^{2}+x-495=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx-495. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=4\left(-495\right)=-1980$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -1980.

$$-1,1980 -2,990 -3,660 -4,495 -5,396 -6,330 -9,220 -10,198 -11,180 -12,165 -15,132 -18,110 -20,99 -22,90 -30,66 -33,60 -36,55 -44,45$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+1980=1979 -2+990=988 -3+660=657 -4+495=491 -5+396=391 -6+330=324 -9+220=211 -10+198=188 -11+180=169 -12+165=153 -15+132=117 -18+110=92 -20+99=79 -22+90=68 -30+66=36 -33+60=27 -36+55=19 -44+45=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=-44 b=45$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}+x-495, როგორც \left(4x^{2}-44x\right)+\left(45x-495\right).

$$\left(4x^{2}-44x\right)+\left(45x-495\right)$$

4x-ის პირველ, 45-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4x\left(x-11\right)+45\left(x-11\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-11 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-11\right)\left(4x+45\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-11=0 და 4x+45=0.

$$x=11 x=-\frac{45}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+x+3=498$$

გამოაკელით 498 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+x+3-498=498-498$$

498-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+x+3-498=0$$

გამოაკელით 498 3-ს.

$$4x^{2}+x-495=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 1-ით b და -495-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4\left(-495\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4\left(-495\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16\left(-495\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -495.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+7920}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 1 7920-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{7921}}{2\times 4}$$

აიღეთ 7921-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±89}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-1±89}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±89}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 89-ს.

$$x=\frac{88}{8}$$

გაყავით 88 8-ზე.

$$x=11$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±89}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 89 -1-ს.

$$x=-\frac{90}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-90}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{45}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=11 x=-\frac{45}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+x+3=498$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+x+3-3=498-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+x=498-3$$

გამოაკელით 3 498-ს.

$$4x^{2}+x=495$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=\frac{495}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{495}{4}$$

გაყავით \frac{1}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{495}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{495}{4}+\frac{1}{64}$$

მიუმატეთ \frac{495}{4} \frac{1}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{7921}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{7921}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{89}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{89}{8}$$

გამოაკელით \frac{1}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=11 x=-\frac{45}{4}$$