გადაწყვიტეთ 4x^2+x+3=0

$$4 x ^ { 2 } + x + 3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{47}i}{8}\approx -0.125+0.856956825i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-1}{8}\approx -0.125-0.856956825i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 1-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16\times 3}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-48}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 1 -48-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-47}}{2\times 4}$$

აიღეთ -47-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±\sqrt{47}i}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{47}i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{47}i}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 i\sqrt{47}-ს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{47}i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{47}i}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{47} -1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-1}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-1+\sqrt{47}i}{8} x=\frac{-\sqrt{47}i-1}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=-\frac{3}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{3}{4}$$

გაყავით \frac{1}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

მიუმატეთ -\frac{3}{4} \frac{1}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{47}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{47}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{47}i}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{47}i}{8}$$

გამოაკელით \frac{1}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{47}i}{8} x=\frac{-\sqrt{47}i-1}{8}$$