გადაწყვიტეთ 4x^2+7x=1

$$4 x ^ { 2 } + 7 x = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}\approx 0.132782219$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}\approx -1.882782219$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+7x=1$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+7x-1=1-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+7x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 7-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 49 16-ს.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -7 \sqrt{65}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{65} -7-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+7x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{1}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

გაყავით \frac{7}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} \frac{49}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

გამოაკელით \frac{7}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$