გადაწყვიტეთ 4x^2+6x-3=12

$$4 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 12$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{69} - 3}{4} \approx 1.326655966$$

$$x=\frac{-\sqrt{69}-3}{4}\approx -2.826655966$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+6x-3=12$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+6x-3-12=12-12$$

12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+6x-3-12=0$$

გამოაკელით 12 -3-ს.

$$4x^{2}+6x-15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 6-ით b და -15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -15.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+240}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 36 240-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{276}}{2\times 4}$$

აიღეთ 276-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{69}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{69}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±2\sqrt{69}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 2\sqrt{69}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{69}-6}{8}$$

გაყავით -6+2\sqrt{69} 8-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{69}-3}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±2\sqrt{69}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{69} -6-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{69}-6}{8}$$

გაყავით -6-2\sqrt{69} 8-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{69}-3}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{69}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{69}-3}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x-3=12$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=12-\left(-3\right)$$

-3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+6x=12-\left(-3\right)$$

გამოაკელით -3 12-ს.

$$4x^{2}+6x=15$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=\frac{15}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=\frac{15}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{15}{4}$$

გაყავით \frac{3}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{15}{4}+\frac{9}{16}$$

მიუმატეთ \frac{15}{4} \frac{9}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{69}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{69}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{69}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{69}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{69}}{4}$$

გამოაკელით \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{69}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{69}-3}{4}$$