გადაწყვიტეთ 4x^2+6x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0.190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1.309016994$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 6-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 36 -16-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

აიღეთ 20-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 2\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

გაყავით -6+2\sqrt{5} 8-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{5} -6-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

გაყავით -6-2\sqrt{5} 8-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+6x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

გაყავით \frac{3}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{4} \frac{9}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

გამოაკელით \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$