გადაწყვიტეთ 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx-81. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 48.

$$a=-6 b=54$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}+48x-81, როგორც \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

2x-ის პირველ, 27-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-3=0 და 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 48-ით b და -81-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 2304 1296-ს.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

აიღეთ 3600-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-48±60}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -48 60-ს.

$$x=\frac{12}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{12}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-48±60}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 60 -48-ს.

$$x=-\frac{108}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-108}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{27}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

მიუმატეთ 81 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

-81-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

გამოაკელით -81 0-ს.

$$4x^{2}+48x=81$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

გაყავით 48 4-ზე.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

გაყავით 12, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 6-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 6-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

მიუმატეთ \frac{81}{4} 36-ს.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+12x+36. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$