გადაწყვიტეთ 4x^2+4x=1

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0.207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1.207106781$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+4x=1$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 4-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 16 16-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

აიღეთ 32-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 4\sqrt{2}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

გაყავით -4+4\sqrt{2} 8-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{2} -4-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

გაყავით -4-4\sqrt{2} 8-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

გაყავით 4 4-ზე.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$