გადაწყვიტეთ 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1.382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4.882491022$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 14-ით b და -27-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 196 432-ს.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

აიღეთ 628-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -14 2\sqrt{157}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

გაყავით -14+2\sqrt{157} 8-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{157} -14-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

გაყავით -14-2\sqrt{157} 8-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

მიუმატეთ 27 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

-27-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

გამოაკელით -27 0-ს.

$$4x^{2}+14x=27$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{14}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

გაყავით \frac{7}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

მიუმატეთ \frac{27}{4} \frac{49}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

გამოაკელით \frac{7}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$