გადაწყვიტეთ 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx-20. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 11.

$$a=-5 b=16$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}+11x-20, როგორც \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

x-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 4x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 4x-5=0 და x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 11-ით b და -20-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 121 320-ს.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

აიღეთ 441-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±21}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -11 21-ს.

$$x=\frac{10}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±21}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 21 -11-ს.

$$x=-\frac{32}{8}$$

გაყავით -32 8-ზე.

$$x=-4$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

მიუმატეთ 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

-20-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

გამოაკელით -20 0-ს.

$$4x^{2}+11x=20$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

გაყავით 20 4-ზე.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

გაყავით \frac{11}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{11}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{11}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{11}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

მიუმატეთ 5 \frac{121}{64}-ს.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

გამოაკელით \frac{11}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$