გადაწყვიტეთ 4v^2+12v+8=0

$$4 v ^ { 2 } + 12 v + 8 = 0$$

ამოხსნა v-ისთვის

$$v=-2$$

$$v=-1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$v^{2}+3v+2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც v^{2}+av+bv+2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=1 b=2$$

ხელახლა დაწერეთ v^{2}+3v+2, როგორც \left(v^{2}+v\right)+\left(2v+2\right).

$$\left(v^{2}+v\right)+\left(2v+2\right)$$

v-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$v\left(v+1\right)+2\left(v+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი v+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(v+1\right)\left(v+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით v+1=0 და v+2=0.

$$v=-1 v=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4v^{2}+12v+8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 12-ით b და 8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 12.

$$v=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$v=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 8}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 8.

$$v=\frac{-12±\sqrt{144-128}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 144 -128-ს.

$$v=\frac{-12±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

აიღეთ 16-ის კვადრატული ფესვი.

$$v=\frac{-12±4}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$v=\frac{-12±4}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება v=\frac{-12±4}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -12 4-ს.

$$v=-\frac{8}{8}$$

გაყავით -8 8-ზე.

$$v=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება v=\frac{-12±4}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4 -12-ს.

$$v=-\frac{16}{8}$$

გაყავით -16 8-ზე.

$$v=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$v=-1 v=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4v^{2}+12v+8=0$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4v^{2}+12v+8-8=-8$$

8-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4v^{2}+12v=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4v^{2}+12v}{4}=-\frac{8}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$v^{2}+\frac{12}{4}v=-\frac{8}{4}$$

გაყავით 12 4-ზე.

$$v^{2}+3v=-\frac{8}{4}$$

გაყავით -8 4-ზე.

$$v^{2}+3v=-2$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$v^{2}+3v+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$v^{2}+3v+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ -2 \frac{9}{4}-ს.

$$v^{2}+3v+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად v^{2}+3v+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(v+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$v+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} v+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$v=-1 v=-2$$