გადაწყვიტეთ 4p^2-3p-10=0

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

ამოხსნა p-ისთვის

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4p^{2}+ap+bp-10. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -3.

$$a=-8 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ 4p^{2}-3p-10, როგორც \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right).

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

4p-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი p-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით p-2=0 და 4p+5=0.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -3-ით b და -10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 9 160-ს.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

აიღეთ 169-ის კვადრატული ფესვი.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

-3-ის საპირისპიროა 3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება p=\frac{3±13}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 3 13-ს.

$$p=\frac{16}{8}$$

გაყავით 16 8-ზე.

$$p=2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება p=\frac{3±13}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 13 3-ს.

$$p=-\frac{10}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$p=-\frac{5}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

გამოაკელით -10 0-ს.

$$4p^{2}-3p=10$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

გაყავით -\frac{3}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} \frac{9}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

მიუმატეთ \frac{3}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$