გადაწყვიტეთ 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

ამოხსნა n-ისთვის

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 11 ორივე მხარეს.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4n^{2}+an+bn-11. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -7.

$$a=-11 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ 4n^{2}-7n-11, როგორც \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ n 4n^{2}-11n-ში.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 4n-11 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 4n-11=0 და n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4n^{2}-7n=11$$

გამოაკელით 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

11-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -7-ით b და -11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 49 176-ს.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

აიღეთ 225-ის კვადრატული ფესვი.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7-ის საპირისპიროა 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{7±15}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 7 15-ს.

$$n=\frac{22}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{22}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$n=\frac{11}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{7±15}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 15 7-ს.

$$n=-\frac{8}{8}$$

გაყავით -8 8-ზე.

$$n=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

გაყავით -\frac{7}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

მიუმატეთ \frac{11}{4} \frac{49}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

მიუმატეთ \frac{7}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$