გადაწყვიტეთ 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x^{2}+2x+1-ზე.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

გამოაკელით 169 4-ს -165-ის მისაღებად.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx-165. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 8.

$$a=-22 b=30$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}+8x-165, როგორც \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

2x-ის პირველ, 15-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-11 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-11=0 და 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x^{2}+2x+1-ზე.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

გამოაკელით 169 4-ს -165-ის მისაღებად.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 8-ით b და -165-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 64 2640-ს.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

აიღეთ 2704-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±52}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8 52-ს.

$$x=\frac{44}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{44}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{11}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±52}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 52 -8-ს.

$$x=-\frac{60}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-60}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{15}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x^{2}+2x+1-ზე.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

გამოაკელით 169 4-ს -165-ის მისაღებად.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

დაამატეთ 165 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$4x^{2}+8x=165$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

გაყავით 8 4-ზე.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

მიუმატეთ \frac{165}{4} 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$