გადაწყვიტეთ 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0.625+1.452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0.625-1.452368755i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -5-ით b და 10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 25 -160-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

აიღეთ -135-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 3i\sqrt{15}-ს.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3i\sqrt{15} 5-ს.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-5x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

გაყავით -\frac{5}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{2} \frac{25}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

მიუმატეთ \frac{5}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$