გადაწყვიტეთ 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2.561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1.561552813$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -4-ით b და -16-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 16 256-ს.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

აიღეთ 272-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

-4-ის საპირისპიროა 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 4 4\sqrt{17}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

გაყავით 4+4\sqrt{17} 8-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{17} 4-ს.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

გაყავით 4-4\sqrt{17} 8-ზე.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

მიუმატეთ 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

გამოაკელით -16 0-ს.

$$4x^{2}-4x=16$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

გაყავით -4 4-ზე.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

გაყავით 16 4-ზე.

$$x^{2}-x=4$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 4 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$