გადაწყვიტეთ 4x^2+x-7=2

$$4 { x }^{ 2 } +x-7 = 2$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{145} - 1}{8} \approx 1.380199322$$

$$x=\frac{-\sqrt{145}-1}{8}\approx -1.630199322$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+x-7=2$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+x-7-2=2-2$$

2-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+x-7-2=0$$

გამოაკელით 2 -7-ს.

$$4x^{2}+x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 1-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -9.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+144}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 1 144-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{145}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{145}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{145}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 \sqrt{145}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{145}-1}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{145}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{145} -1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{145}-1}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{145}-1}{8} x=\frac{-\sqrt{145}-1}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+x-7=2$$

მიუმატეთ 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+x-7-\left(-7\right)=2-\left(-7\right)$$

-7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+x=2-\left(-7\right)$$

გამოაკელით -7 2-ს.

$$4x^{2}+x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=\frac{9}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{9}{4}$$

გაყავით \frac{1}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{4}+\frac{1}{64}$$

მიუმატეთ \frac{9}{4} \frac{1}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{145}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{145}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{145}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{145}}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{145}}{8}$$

გამოაკელით \frac{1}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{145}-1}{8} x=\frac{-\sqrt{145}-1}{8}$$