გადაწყვიტეთ 4x^2+8x=4x+8

$$4 { x }^{ 2 } +8x = 4x+8$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

$$x=1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+8x-4x=8$$

დააჯგუფეთ 8x და -4x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x^{2}+4x=8$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+4x-8=0$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x^{2}+x-2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-1 b=2$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+x-2, როგორც \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-1=0 და x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+8x-4x=8$$

დააჯგუფეთ 8x და -4x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x^{2}+4x=8$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+4x-8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 4-ით b და -8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -8.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 16 128-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

აიღეთ 144-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±12}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-4±12}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±12}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 12-ს.

$$x=\frac{8}{8}$$

გაყავით 8 8-ზე.

$$x=1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±12}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12 -4-ს.

$$x=-\frac{16}{8}$$

გაყავით -16 8-ზე.

$$x=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=1 x=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+8x-4x=8$$

დააჯგუფეთ 8x და -4x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x^{2}+4x=8$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{8}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{8}{4}$$

გაყავით 4 4-ზე.

$$x^{2}+x=\frac{8}{4}$$

გაყავით 8 4-ზე.

$$x^{2}+x=2$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 2 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=-2$$