გადაწყვიტეთ 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-6$$

$$x=5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 120 ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x^{2}+x-30=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-30. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=-5 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+x-30, როგორც \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

x-ის პირველ, 6-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-5=0 და x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+4x=120$$

გამოაკელით 120 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

120-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 4-ით b და -120-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 16 1920-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

აიღეთ 1936-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±44}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 44-ს.

$$x=\frac{40}{8}$$

გაყავით 40 8-ზე.

$$x=5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±44}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 44 -4-ს.

$$x=-\frac{48}{8}$$

გაყავით -48 8-ზე.

$$x=-6$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=5 x=-6$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

გაყავით 4 4-ზე.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

გაყავით 120 4-ზე.

$$x^{2}+x=30$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 30 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=5 x=-6$$