გადაწყვიტეთ 4x^2+13x+5=0

$$4 { x }^{ 2 } +13x+5=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8}\approx -0.445752358$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}\approx -2.804247642$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+13x+5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 13-ით b და 5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-16\times 5}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 5.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-80}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 169 -80-ს.

$$x=\frac{-13±\sqrt{89}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -13 \sqrt{89}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{89} -13-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+13x+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+13x+5-5=-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}+13x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+13x}{4}=-\frac{5}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=-\frac{5}{4}$$

გაყავით \frac{13}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{13}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{13}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{13}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{64}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{4} \frac{169}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=\frac{89}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}=\frac{89}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{13}{8}=\frac{\sqrt{89}}{8} x+\frac{13}{8}=-\frac{\sqrt{89}}{8}$$

გამოაკელით \frac{13}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$