გადაწყვიტეთ 4lambda^2+6lambda+4=0

$$4 \lambda ^ { 2 } + 6 \lambda + 4 = 0$$

ამოხსნა λ-ისთვის

$$\lambda =\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}\approx -0.75+0.661437828i$$

$$\lambda =\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}\approx -0.75-0.661437828i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4\lambda ^{2}+6\lambda +4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 6-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$\lambda =\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$\lambda =\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$\lambda =\frac{-6±\sqrt{36-16\times 4}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 4.

$$\lambda =\frac{-6±\sqrt{36-64}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 36 -64-ს.

$$\lambda =\frac{-6±\sqrt{-28}}{2\times 4}$$

აიღეთ -28-ის კვადრატული ფესვი.

$$\lambda =\frac{-6±2\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$\lambda =\frac{-6±2\sqrt{7}i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება \lambda =\frac{-6±2\sqrt{7}i}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 2i\sqrt{7}-ს.

$$\lambda =\frac{-6+2\sqrt{7}i}{8}$$

გაყავით -6+2i\sqrt{7} 8-ზე.

$$\lambda =\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება \lambda =\frac{-6±2\sqrt{7}i}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{7} -6-ს.

$$\lambda =\frac{-2\sqrt{7}i-6}{8}$$

გაყავით -6-2i\sqrt{7} 8-ზე.

$$\lambda =\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$\lambda =\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} \lambda =\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4\lambda ^{2}+6\lambda +4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4\lambda ^{2}+6\lambda +4-4=-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4\lambda ^{2}+6\lambda =-4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4\lambda ^{2}+6\lambda }{4}=-\frac{4}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$\lambda ^{2}+\frac{6}{4}\lambda =-\frac{4}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$\lambda ^{2}+\frac{3}{2}\lambda =-\frac{4}{4}$$

გაყავით -4 4-ზე.

$$\lambda ^{2}+\frac{3}{2}\lambda =-1$$

გაყავით \frac{3}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$\lambda ^{2}+\frac{3}{2}\lambda +\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$\lambda ^{2}+\frac{3}{2}\lambda +\frac{9}{16}=-1+\frac{9}{16}$$

მიუმატეთ -1 \frac{9}{16}-ს.

$$\lambda ^{2}+\frac{3}{2}\lambda +\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად \lambda ^{2}+\frac{3}{2}\lambda +\frac{9}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(\lambda +\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(\lambda +\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$\lambda +\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} \lambda +\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

გამოაკელით \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\lambda =\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} \lambda =\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$