გადაწყვიტეთ 3x-5x^2=3

$$3x-5 { x }^{ 2 } =3$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}\approx 0.3-0.714142843i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}\approx 0.3+0.714142843i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-5x^{2}+3x=3$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x^{2}+3x-3=3-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-5x^{2}+3x-3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -5-ით a, 3-ით b და -3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ 20-ზე -3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\left(-5\right)}$$

მიუმატეთ 9 -60-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\left(-5\right)}$$

აიღეთ -51-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 i\sqrt{51}-ს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{-10}$$

გაყავით -3+i\sqrt{51} -10-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{51} -3-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{-10}$$

გაყავით -3-i\sqrt{51} -10-ზე.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10} x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+3x=3$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=\frac{3}{-5}$$

-5-ზე გაყოფა აუქმებს -5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=\frac{3}{-5}$$

გაყავით 3 -5-ზე.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{3}{-5}$$

გაყავით 3 -5-ზე.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{3}{5}$$

გაყავით -\frac{3}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{9}{100}$$

მიუმატეთ -\frac{3}{5} \frac{9}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{51}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{51}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{51}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{51}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{51}i}{10}$$

მიუმატეთ \frac{3}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10} x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$