გადაწყვიტეთ 32x^2-68x+8=0

$$32 x ^ { 2 } - 68 x + 8 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$x=2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$8x^{2}-17x+2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 8x^{2}+ax+bx+2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-17 ab=8\times 2=16$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 16.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -17.

$$a=-16 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ 8x^{2}-17x+2, როგორც \left(8x^{2}-16x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(8x^{2}-16x\right)+\left(-x+2\right)$$

8x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$8x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-2\right)\left(8x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-2=0 და 8x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{8}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$32x^{2}-68x+8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 32-ით a, -68-ით b და 8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 32\times 8}}{2\times 32}$$

აიყვანეთ კვადრატში -68.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-4\times 32\times 8}}{2\times 32}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 32.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-128\times 8}}{2\times 32}$$

გაამრავლეთ -128-ზე 8.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-1024}}{2\times 32}$$

მიუმატეთ 4624 -1024-ს.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{3600}}{2\times 32}$$

აიღეთ 3600-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±60}{2\times 32}$$

-68-ის საპირისპიროა 68.

$$x=\frac{68±60}{2\times 32}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 32.

$$x=\frac{68±60}{64}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{68±60}{64} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 68 60-ს.

$$x=\frac{128}{64}$$

გაყავით 128 64-ზე.

$$x=2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{68±60}{64} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 60 68-ს.

$$x=\frac{8}{64}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{8}{64} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=2 x=\frac{1}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$32x^{2}-68x+8=0$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$32x^{2}-68x+8-8=-8$$

8-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$32x^{2}-68x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 32-ზე.

$$\frac{32x^{2}-68x}{32}=-\frac{8}{32}$$

32-ზე გაყოფა აუქმებს 32-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{68}{32}\right)x=-\frac{8}{32}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-68}{32} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{17}{8}x=-\frac{8}{32}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-8}{32} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{17}{8}x=-\frac{1}{4}$$

გაყავით -\frac{17}{8}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{17}{16}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{17}{16}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{17}{8}x+\left(-\frac{17}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{17}{16}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{17}{16} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{17}{8}x+\frac{289}{256}=-\frac{1}{4}+\frac{289}{256}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{4} \frac{289}{256}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{17}{8}x+\frac{289}{256}=\frac{225}{256}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{17}{8}x+\frac{289}{256}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{16}\right)^{2}=\frac{225}{256}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{256}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{17}{16}=\frac{15}{16} x-\frac{17}{16}=-\frac{15}{16}$$

მიუმატეთ \frac{17}{16} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2 x=\frac{1}{8}$$