გადაწყვიტეთ 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0.048387097+0.172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0.048387097-0.172964602i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 31-ით a, -3-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

მიუმატეთ 9 -124-ს.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

აიღეთ -115-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

-3-ის საპირისპიროა 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 3 i\sqrt{115}-ს.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{115} 3-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 31-ზე.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

31-ზე გაყოფა აუქმებს 31-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

გაყავით -\frac{3}{31}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{62}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{62}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{62} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{31} \frac{9}{3844}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

მიუმატეთ \frac{3}{62} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$