გადაწყვიტეთ 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13.428571429$$

$$x=12$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 3384 ორივე მხარეს.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 7x^{2}+ax+bx-1128. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 10.

$$a=-84 b=94$$

ხელახლა დაწერეთ 7x^{2}+10x-1128, როგორც \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

7x-ის პირველ, 94-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-12 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-12=0 და 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$21x^{2}+30x=3384$$

გამოაკელით 3384 განტოლების ორივე მხარეს.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

3384-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 21-ით a, 30-ით b და -3384-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

აიყვანეთ კვადრატში 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

გაამრავლეთ -84-ზე -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

მიუმატეთ 900 284256-ს.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

აიღეთ 285156-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-30±534}{42} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -30 534-ს.

$$x=\frac{504}{42}$$

გაყავით 504 42-ზე.

$$x=12$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-30±534}{42} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 534 -30-ს.

$$x=-\frac{564}{42}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-564}{42} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{94}{7}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

ორივე მხარე გაყავით 21-ზე.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

21-ზე გაყოფა აუქმებს 21-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{30}{21} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{3384}{21} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

გაყავით \frac{10}{7}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{7}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{7}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{7} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

მიუმატეთ \frac{1128}{7} \frac{25}{49}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

გამოაკელით \frac{5}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$