გადაწყვიტეთ 30b^2-28b-16=0

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

ამოხსნა b-ისთვის

$$b=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 15b^{2}+ab+bb-8. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -14.

$$a=-20 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ 15b^{2}-14b-8, როგორც \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right).

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

5b-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3b-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3b-4=0 და 5b+2=0.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 30-ით a, -28-ით b და -16-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

აიყვანეთ კვადრატში -28.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

გაამრავლეთ -120-ზე -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

მიუმატეთ 784 1920-ს.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

აიღეთ 2704-ის კვადრატული ფესვი.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

-28-ის საპირისპიროა 28.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება b=\frac{28±52}{60} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 28 52-ს.

$$b=\frac{80}{60}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{80}{60} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 20-ის შეკვეცით.

$$b=\frac{4}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება b=\frac{28±52}{60} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 52 28-ს.

$$b=-\frac{24}{60}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-24}{60} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 12-ის შეკვეცით.

$$b=-\frac{2}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

მიუმატეთ 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

გამოაკელით -16 0-ს.

$$30b^{2}-28b=16$$

ორივე მხარე გაყავით 30-ზე.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

30-ზე გაყოფა აუქმებს 30-ზე გამრავლებას.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-28}{30} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{16}{30} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

გაყავით -\frac{14}{15}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{15}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{15}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{15} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

მიუმატეთ \frac{8}{15} \frac{49}{225}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

დაშალეთ მამრავლებად b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

გაამარტივეთ.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

მიუმატეთ \frac{7}{15} განტოლების ორივე მხარეს.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$