გადაწყვიტეთ 3y^2-11y+10=0

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3y^{2}+ay+by+10. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -11.

$$a=-6 b=-5$$

ხელახლა დაწერეთ 3y^{2}-11y+10, როგორც \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right).

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

3y-ის პირველ, -5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი y-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით y-2=0 და 3y-5=0.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -11-ით b და 10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -11.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 10.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 121 -120-ს.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

აიღეთ 1-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

-11-ის საპირისპიროა 11.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{11±1}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 11 1-ს.

$$y=\frac{12}{6}$$

გაყავით 12 6-ზე.

$$y=2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{11±1}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 1 11-ს.

$$y=\frac{10}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$y=\frac{5}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3y^{2}-11y=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

გაყავით -\frac{11}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

მიუმატეთ -\frac{10}{3} \frac{121}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

მიუმატეთ \frac{11}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$