გადაწყვიტეთ 3x^2-8x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2.786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0.119632981$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -8-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 64 12-ს.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

აიღეთ 76-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

-8-ის საპირისპიროა 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 8 2\sqrt{19}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

გაყავით 8+2\sqrt{19} 6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{19} 8-ს.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

გაყავით 8-2\sqrt{19} 6-ზე.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$3x^{2}-8x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

გაყავით -\frac{8}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{4}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{4}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{4}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} \frac{16}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

მიუმატეთ \frac{4}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$