გადაწყვიტეთ 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1.166666667+0.552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1.166666667-0.552770798i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -7-ით b და 5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 49 -60-ს.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

აიღეთ -11-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

-7-ის საპირისპიროა 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 7 i\sqrt{11}-ს.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{11} 7-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-7x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

გაყავით -\frac{7}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{3} \frac{49}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

მიუმატეთ \frac{7}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$