გადაწყვიტეთ 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx+84. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -32.

$$a=-18 b=-14$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}-32x+84, როგორც \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

3x-ის პირველ, -14-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-6 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-6=0 და 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -32-ით b და 84-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 1024 -1008-ს.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

აიღეთ 16-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

-32-ის საპირისპიროა 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{32±4}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 32 4-ს.

$$x=\frac{36}{6}$$

გაყავით 36 6-ზე.

$$x=6$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{32±4}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4 32-ს.

$$x=\frac{28}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{28}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{14}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

გამოაკელით 84 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

84-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

გაყავით -84 3-ზე.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

გაყავით -\frac{32}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{16}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{16}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{16}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

მიუმატეთ -28 \frac{256}{9}-ს.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

მიუმატეთ \frac{16}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$