გადაწყვიტეთ 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6.616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0.050380733$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -20-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 400 -12-ს.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

აიღეთ 388-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

-20-ის საპირისპიროა 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 20 2\sqrt{97}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

გაყავით 20+2\sqrt{97} 6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{97} 20-ს.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

გაყავით 20-2\sqrt{97} 6-ზე.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-20x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

გაყავით -\frac{20}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{10}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{10}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{10}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{3} \frac{100}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

მიუმატეთ \frac{10}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$