გადაწყვიტეთ 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-16. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -2.

$$a=-8 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}-2x-16, როგორც \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-8 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-8=0 და x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -2-ით b და -16-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 4 192-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

აიღეთ 196-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±14}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 14-ს.

$$x=\frac{16}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{16}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{8}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±14}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 14 2-ს.

$$x=-\frac{12}{6}$$

გაყავით -12 6-ზე.

$$x=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

მიუმატეთ 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

გამოაკელით -16 0-ს.

$$3x^{2}-2x=16$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

გაყავით -\frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

მიუმატეთ \frac{16}{3} \frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$