გადაწყვიტეთ 3x^2-2x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0.333333333+1.105541597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0.333333333-1.105541597i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -2-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 4}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 4 -48-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 3}$$

აიღეთ -44-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 2i\sqrt{11}-ს.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{6}$$

გაყავით 2+2i\sqrt{11} 6-ზე.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{11} 2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{6}$$

გაყავით 2-2i\sqrt{11} 6-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-2x+4-4=-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-2x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{4}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

გაყავით -\frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{3} \frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$