გადაწყვიტეთ 3x^2-15x-6=3

$$3 x ^ { 2 } - 15 x - 6 = 3$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{37} + 5}{2} \approx 5.541381265$$

$$x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\approx -0.541381265$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-15x-6=3$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-15x-6-3=3-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-15x-6-3=0$$

გამოაკელით 3 -6-ს.

$$3x^{2}-15x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -15-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+108}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 225 108-ს.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{333}}{2\times 3}$$

აიღეთ 333-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{37}}{2\times 3}$$

-15-ის საპირისპიროა 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{37}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 15 3\sqrt{37}-ს.

$$x=\frac{3\sqrt{37}+15}{6}$$

გაყავით 15+3\sqrt{37} 6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3\sqrt{37} 15-ს.

$$x=\frac{15-3\sqrt{37}}{6}$$

გაყავით 15-3\sqrt{37} 6-ზე.

$$x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x-6=3$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-15x-6-\left(-6\right)=3-\left(-6\right)$$

-6-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-15x=3-\left(-6\right)$$

გამოაკელით -6 3-ს.

$$3x^{2}-15x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{9}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{9}{3}$$

გაყავით -15 3-ზე.

$$x^{2}-5x=\frac{9}{3}$$

გაყავით 9 3-ზე.

$$x^{2}-5x=3$$

გაყავით -5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=3+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ 3 \frac{25}{4}-ს.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{37}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-5x+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{37}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{37}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{37}}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$