გადაწყვიტეთ 3x^2-14x+9=0

$$3 x ^ { 2 } - 14 x + 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{22} + 7}{3} \approx 3.896805253$$

$$x=\frac{7-\sqrt{22}}{3}\approx 0.769861413$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-14x+9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -14-ით b და 9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-12\times 9}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-108}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 196 -108-ს.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{88}}{2\times 3}$$

აიღეთ 88-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{22}}{2\times 3}$$

-14-ის საპირისპიროა 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{22}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{14±2\sqrt{22}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±2\sqrt{22}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 14 2\sqrt{22}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+14}{6}$$

გაყავით 14+2\sqrt{22} 6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{22}+7}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±2\sqrt{22}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{22} 14-ს.

$$x=\frac{14-2\sqrt{22}}{6}$$

გაყავით 14-2\sqrt{22} 6-ზე.

$$x=\frac{7-\sqrt{22}}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{22}+7}{3} x=\frac{7-\sqrt{22}}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-14x+9=0$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-14x+9-9=-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-14x=-9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-14x}{3}=-\frac{9}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=-\frac{9}{3}$$

გაყავით -9 3-ზე.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=-3$$

გაყავით -\frac{14}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=-3+\frac{49}{9}$$

მიუმატეთ -3 \frac{49}{9}-ს.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{22}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{22}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{3}=\frac{\sqrt{22}}{3} x-\frac{7}{3}=-\frac{\sqrt{22}}{3}$$

მიუმატეთ \frac{7}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{22}+7}{3} x=\frac{7-\sqrt{22}}{3}$$