გადაწყვიტეთ 3x^2+x=11

$$3 x ^ { 2 } + x = 11$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{133} - 1}{6} \approx 1.755427099$$

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}\approx -2.088760432$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+x=11$$

გამოაკელით 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+x-11=11-11$$

11-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+x-11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 1-ით b და -11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -11.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+132}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 1 132-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 \sqrt{133}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{133} -1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x=11$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{11}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{11}{3}$$

გაყავით \frac{1}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{11}{3}+\frac{1}{36}$$

მიუმატეთ \frac{11}{3} \frac{1}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{133}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{133}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{133}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{133}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{133}}{6}$$

გამოაკელით \frac{1}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$