გადაწყვიტეთ 3x^2+x+7=0

$$3 x ^ { 2 } + x + 7 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.166666667+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}\approx -0.166666667-1.518405597i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+x+7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 1-ით b და 7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\times 7}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-84}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 1 -84-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

აიღეთ -83-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 i\sqrt{83}-ს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{83} -1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x+7=0$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+x+7-7=-7$$

7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+x=-7$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{7}{3}$$

გაყავით \frac{1}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

მიუმატეთ -\frac{7}{3} \frac{1}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{83}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

გამოაკელით \frac{1}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$