გადაწყვიტეთ 3x^2+9x-30=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-5$$

$$x=2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x^{2}+3x-10=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-10. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -10.

$$-1,10 -2,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-2 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+3x-10, როგორც \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-2=0 და x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 9-ით b და -30-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 81 360-ს.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

აიღეთ 441-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±21}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -9 21-ს.

$$x=\frac{12}{6}$$

გაყავით 12 6-ზე.

$$x=2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±21}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 21 -9-ს.

$$x=-\frac{30}{6}$$

გაყავით -30 6-ზე.

$$x=-5$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=2 x=-5$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

მიუმატეთ 30 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

-30-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

გამოაკელით -30 0-ს.

$$3x^{2}+9x=30$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

გაყავით 9 3-ზე.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

გაყავით 30 3-ზე.

$$x^{2}+3x=10$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 10 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2 x=-5$$