გადაწყვიტეთ 3x^2+9x+6=90

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-7$$

$$x=4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 90 ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

გამოაკელით 90 6-ს -84-ის მისაღებად.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x^{2}+3x-28=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-28. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-4 b=7$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+3x-28, როგორც \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

x-ის პირველ, 7-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-4=0 და x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

გამოაკელით 90 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

90-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

გამოაკელით 90 6-ს.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 9-ით b და -84-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -84.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 81 1008-ს.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

აიღეთ 1089-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±33}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -9 33-ს.

$$x=\frac{24}{6}$$

გაყავით 24 6-ზე.

$$x=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±33}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 33 -9-ს.

$$x=-\frac{42}{6}$$

გაყავით -42 6-ზე.

$$x=-7$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=4 x=-7$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

6-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

გამოაკელით 6 90-ს.

$$3x^{2}+9x=84$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

გაყავით 9 3-ზე.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

გაყავით 84 3-ზე.

$$x^{2}+3x=28$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 28 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4 x=-7$$