გადაწყვიტეთ 3x^2+9x+2=5

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 2 = 5$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\approx 0.302775638$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-3}{2}\approx -3.302775638$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+9x+2=5$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+9x+2-5=5-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+9x+2-5=0$$

გამოაკელით 5 2-ს.

$$3x^{2}+9x-3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 9-ით b და -3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+36}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 81 36-ს.

$$x=\frac{-9±\sqrt{117}}{2\times 3}$$

აიღეთ 117-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -9 3\sqrt{13}-ს.

$$x=\frac{3\sqrt{13}-9}{6}$$

გაყავით -9+3\sqrt{13} 6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3\sqrt{13} -9-ს.

$$x=\frac{-3\sqrt{13}-9}{6}$$

გაყავით -9-3\sqrt{13} 6-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+2=5$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+9x+2-2=5-2$$

2-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+9x=5-2$$

გამოაკელით 2 5-ს.

$$3x^{2}+9x=3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{3}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{3}{3}$$

გაყავით 9 3-ზე.

$$x^{2}+3x=\frac{3}{3}$$

გაყავით 3 3-ზე.

$$x^{2}+3x=1$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=1+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=1+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 1 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$$