გადაწყვიტეთ 3x^2+6x=12

$$3 x ^ { 2 } + 6 x = 12$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1.236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3.236067977$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+6x=12$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+6x-12=12-12$$

12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+6x-12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 6-ით b და -12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+144}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 36 144-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{180}}{2\times 3}$$

აიღეთ 180-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{5}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{5}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±6\sqrt{5}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 6\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{6\sqrt{5}-6}{6}$$

გაყავით -6+6\sqrt{5} 6-ზე.

$$x=\sqrt{5}-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±6\sqrt{5}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6\sqrt{5} -6-ს.

$$x=\frac{-6\sqrt{5}-6}{6}$$

გაყავით -6-6\sqrt{5} 6-ზე.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+6x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+6x}{3}=\frac{12}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6}{3}x=\frac{12}{3}$$

გაყავით 6 3-ზე.

$$x^{2}+2x=\frac{12}{3}$$

გაყავით 12 3-ზე.

$$x^{2}+2x=4$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

მიუმატეთ 4 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=5$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1.236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3.236067977$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+6x=12$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+6x-12=12-12$$

12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+6x-12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 6-ით b და -12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+144}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 36 144-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{180}}{2\times 3}$$

აიღეთ 180-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{5}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{5}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±6\sqrt{5}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 6\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{6\sqrt{5}-6}{6}$$

გაყავით -6+6\sqrt{5} 6-ზე.

$$x=\sqrt{5}-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±6\sqrt{5}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6\sqrt{5} -6-ს.

$$x=\frac{-6\sqrt{5}-6}{6}$$

გაყავით -6-6\sqrt{5} 6-ზე.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+6x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+6x}{3}=\frac{12}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6}{3}x=\frac{12}{3}$$

გაყავით 6 3-ზე.

$$x^{2}+2x=\frac{12}{3}$$

გაყავით 12 3-ზე.

$$x^{2}+2x=4$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

მიუმატეთ 4 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=5$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$