გადაწყვიტეთ 3x^2+4x-1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\approx 0.215250437$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\approx -1.54858377$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 4-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 16 12-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\times 3}$$

აიღეთ 28-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 2\sqrt{7}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-4}{6}$$

გაყავით -4+2\sqrt{7} 6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{7} -4-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-4}{6}$$

გაყავით -4-2\sqrt{7} 6-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$3x^{2}+4x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{1}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$$

გაყავით \frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} \frac{4}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

გამოაკელით \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$