გადაწყვიტეთ 3x^2+25x=125

$$3 x ^ { 2 } + 25 x = 125$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{5 \sqrt{85} - 25}{6} \approx 3.516287048$$

$$x=\frac{-5\sqrt{85}-25}{6}\approx -11.849620381$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+25x=125$$

გამოაკელით 125 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+25x-125=125-125$$

125-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+25x-125=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 25-ით b და -125-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 3\left(-125\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 3\left(-125\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-12\left(-125\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -125.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+1500}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 625 1500-ს.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2125}}{2\times 3}$$

აიღეთ 2125-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{85}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{85}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±5\sqrt{85}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -25 5\sqrt{85}-ს.

$$x=\frac{5\sqrt{85}-25}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±5\sqrt{85}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5\sqrt{85} -25-ს.

$$x=\frac{-5\sqrt{85}-25}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5\sqrt{85}-25}{6} x=\frac{-5\sqrt{85}-25}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+25x=125$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+25x}{3}=\frac{125}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x=\frac{125}{3}$$

გაყავით \frac{25}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{25}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{25}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x+\left(\frac{25}{6}\right)^{2}=\frac{125}{3}+\left(\frac{25}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{25}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x+\frac{625}{36}=\frac{125}{3}+\frac{625}{36}$$

მიუმატეთ \frac{125}{3} \frac{625}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x+\frac{625}{36}=\frac{2125}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{25}{3}x+\frac{625}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{6}\right)^{2}=\frac{2125}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2125}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{25}{6}=\frac{5\sqrt{85}}{6} x+\frac{25}{6}=-\frac{5\sqrt{85}}{6}$$

გამოაკელით \frac{25}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5\sqrt{85}-25}{6} x=\frac{-5\sqrt{85}-25}{6}$$