გადაწყვიტეთ 3x^2+25x=-42

$$3 x ^ { 2 } + 25 x = - 42$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

$$x=-6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

დაამატეთ 42 ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+25x+42=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx+42. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=25 ab=3\times 42=126$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 126.

$$1,126 2,63 3,42 6,21 7,18 9,14$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+126=127 2+63=65 3+42=45 6+21=27 7+18=25 9+14=23$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 25.

$$a=7 b=18$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}+25x+42, როგორც \left(3x^{2}+7x\right)+\left(18x+42\right).

$$\left(3x^{2}+7x\right)+\left(18x+42\right)$$

x-ის პირველ, 6-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(3x+7\right)+6\left(3x+7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x+7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x+7\right)\left(x+6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x+7=0 და x+6=0.

$$x=-\frac{7}{3} x=-6$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+25x=-42$$

მიუმატეთ 42 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+25x-\left(-42\right)=-42-\left(-42\right)$$

-42-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+25x-\left(-42\right)=0$$

გამოაკელით -42 0-ს.

$$3x^{2}+25x+42=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 25-ით b და 42-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 3\times 42}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 3\times 42}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-12\times 42}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 42.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-504}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 625 -504-ს.

$$x=\frac{-25±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

აიღეთ 121-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-25±11}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-25±11}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±11}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -25 11-ს.

$$x=-\frac{14}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-14}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{7}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±11}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 11 -25-ს.

$$x=-\frac{36}{6}$$

გაყავით -36 6-ზე.

$$x=-6$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{7}{3} x=-6$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+25x=-42$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+25x}{3}=-\frac{42}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x=-\frac{42}{3}$$

გაყავით -42 3-ზე.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x=-14$$

გაყავით \frac{25}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{25}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{25}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x+\left(\frac{25}{6}\right)^{2}=-14+\left(\frac{25}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{25}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x+\frac{625}{36}=-14+\frac{625}{36}$$

მიუმატეთ -14 \frac{625}{36}-ს.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x+\frac{625}{36}=\frac{121}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{25}{3}x+\frac{625}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{25}{6}=\frac{11}{6} x+\frac{25}{6}=-\frac{11}{6}$$

გამოაკელით \frac{25}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{7}{3} x=-6$$